>This problem considers the use of pre-filtering to reduce the high-frequency content of a signal prior to sampling it. > >By pre-filtering, we can reduce or eliminate the aliasing introduced by sampling. > >To keep the problem simple, we are considering 1D sampling of audio (temporal) signals rather than 2D sampling of image (spatial) signals. Thus, in the Fourier domain the units are Hz (temporal cycles/second). > >Digital telephone systems sample audio signals at a rate of 8kHz. > >a) What is the highest audio frequency that can be sampled by a telephone system without aliasing? > >Humans can hear frequencies up to approximately 20 kHz. For the sake of simplicity, assume that the audio signal that we are sampling has a flat frequency spectrum from 0 to 20KHz. To avoid aliasing when we sample this signal, we are going to first pre-filter it with an analog filter to reduce the amount of energy in the signal above the Nyquist frequency. > >Our filter operates in the time domain (equivalent to the spatial domain for images). Our filter is implemented as convolution with a Gaussian in the time domain. > >b) Express the filter mathematically in both the time domain and the frequency domain. i.e. what is h(t) and what is H( ω)? The width of h(t) should be expressed in terms of a standard deviation σ. > >Because the Guassian never becomes exactly zero, we cannot use a guassian as a perfect pre-filter. But, if we choose the width of the Gaussian well it can be a good filter. Suppose that we want to insure that 98% of the energy in the sampled signal is not aliased (i.e. 98% of the energy in the sampled signal comes from frequencies that were below the Nyquist frequency in the original audio signal). > >c) What width of Guassian should we use? (Hint, you are going to have to consider area under the curve H( ω)) > >d) With the filter from part C, what fraction of the original signal energy below the Nyquist frequency are we discarding? Ideally the answer would be 0%, but the answer is higher than that because the Gaussian is not a perfect low-pass filter. > >문제가 너무 어려운데 c,d 문제에 관한 조언 좀 해주실수 있는지요... >감사합니다. 학부생이신가요..? DSP의 기초인 듯 하군요. Sampling을 하면 time이 analog에서 digital의 개념으로 변경됩니다...일반적으로 말하는 digital은 quantization이겠지만 여기서는 time의 관점에서 보겠습니다. 아시다시피 샘플링을 하면 무한개의 impuse와 원 신호들을 곱셈한 꼴이 되며 이는 frequency domain에서 봤을 때 일정 간격의 time delay를 가지는 impulse series와 convolution한 것처럼 보이게 됩니다. 여기서 한가지...time domain에서의 convolution은 frequency domain에서 multiply한 것과 동일합니다...그 역도 마찬가지구요. 때문에 높은 주파수 성분이 convolution에 의해 원신호와 겹쳐지게 될 수 있는데 이것을 aliasing이라 하며, 특징은 원신호의 특정 주파수 영역의 정보를 해치게 됩니다. 따라서 Aanalog to digital conversion을 하기 전에 반드시 anti-aliasing 필터를 통과시켜 고주파 성분을 잘라내야만 합니다. 여기서 어느 부분이 고주파 성분인가...하는 문제가 남습니다. 간단히 생각해서 ADC의 sampling rate의 절반에 해당하는 부분입니다. 1초에 4만번을 샘플링할 수 있다면 원신호의 20kHz 이상의 성분은 반드시 제거해주어야 aliasing이 발생하지 않습니다. 이 anti-aliasing 필터를 설계할 때 보통은 coarse하게 디자인된 low-pass filter를 씁니다. 특이하게도 질문하신 문제에서는 gaussian 필터를 쓴 것 같습니다. 가우스 함수는 잘 아시다시피 exponential의 역수로 표현할 수 있습니다(제 생각에 h(t) = e^(-t/σ) 가 아닌지 싶네요...). 가우스의 가장 큰 특징은 fourier transform을 해도 식이 동일하다는 것이죠. Low frequency 부분에서는 둥그스름하지만 주파수가 높아질 수록 점점 exponential하게 감소하는 모양이죠. 때문에 낮은 주파수 성분들이 1에 가까운 값으로 곱셈이 되겠지만 높은 성분의 주파수들은 매우 매우 작은 값으로 수렴하게 되겠죠...(가우스 함수 자체가 0으로 수렴하는 꼴이니까요) 이제 문제를 보겠습니다. c)에서는 신호 성분의 98%를 aliasing되지 않도록 하고 싶다고 합니다. 신호 자체가 random process이기 때문에 power spectral density를 구해 직접 계산해봐야 겠지만, 다행스럽게도 문제에서 음성 신호를 0~20kHz의 구간에서 평평한 density를 가진다고 정의해놓았습니다. 그려보면 직사각형이 나오겠죠... 그렇기 때문에 anti-aliasing filter를 통과한 신호는 그냥 gaussian과 동일하다고 보시면 됩니다. 때문에 이문제는 단순한 적분 문제가 되겠습니다. 위의 가우스 함수를 0부터 f1 까지 적분했을 때 그 값이 원래 신호의 98%가 되는 지점을 찾으셔야 합니다(원래 신호의 총 에너지를 20,000 이라고 생각하시면 됩니다). 참고로 가우스는 적분을 해도, 미분을 해도 가우스입니다....답은 간단한 산수로 구하실 수 있습니다. d) 여기서는 nyquist frequency 이하로 얼마만큼의 신호 성분이 버려지는가...를 묻고 있습니다. 역시 간단합니다. 신호가 20kHz까지 있으므로 nyquist frequency는 40kHz가 될 것입니다. 때문에 1 - H(w) 를 0에서 40kHz 까지 적분하시면 원하시는 답을 얻으실 수 있습니다.